<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S5}{IV-5  Algorithme du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-5-2  Amlioration de la fonction d'objectif</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}</div>

\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


On se donne une base ralisable \( B = (B_1,\ldots,B_m) \). Le
vecteur \( B_i \) dsigne la \( i\ieme \) colonne de \( B \) qui 
est  fortiori une colonne de \( M \). On note aussi \( N_j \) la colonne 
d'indice \( j \) de la matrice \( N \). D'ailleurs, \( N_j \) n'est autre \( Ne_j \) 
o \( e_j \) est le \( j \)-ime vecteur de la base canonique de
\( \mathbb R^{n-m} \).

<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm"> <a name="th4">
On suppose que la base ralisable \( B \) vrifie
\( w_N^* \not\leq 0_{N}^* \). Il existe donc une composante \( w_s \) du
vecteur \( w_N^* \) qui est strictement positive. Considrons le
\( s\ieme \) vecteur colonne \( \gamma = B^{-1}N_s \) de la matrice
\( B^{-1}N \). Alors de deux choses l'une
<ul><li>  (i) ou bien \( \gamma  \leq 0_B \), et dans ce cas l'optimum est
infini,
 </li><li>  (ii) ou bien \( \gamma \not\leq 0_B \). Dans ce cas, on
calcule le rel
<p class="math">\( \lambda = \min \{ \frac{(B^{-1}b)_i}{\gamma_i} \; \slash \;
\gamma_i >0\}, \)</p>
 </li></ul>
et on dtermine un indice \( r\in \{1,\ldots,m\} \) pour lequel ce 
minimum \( \lambda \) est
atteint (<i>i.e.</i>   \( \lambda = \frac{(B^{-1}b)_r}{\gamma_r} \)). Alors, 
la matrice \( B' \), obtenue  partir de
\( B = (B_1,\ldots,B_m) \) en remplaant le vecteur colonne \( B_r \) par 
\( N_s \), est une base ralisable. La solution de base 
\( y^{(1)} = (\; _{\;0_{N'}}^{{B'}^{-1}b}) \) associe  \( B' \) vrifie
<p class="math">\( ({B'}^{-1}b)_i = \left\{ \begin{matrix} 
(B^{-1}b)_i-\lambda \gamma_i & \mbox{si }i \neq r\\
\lambda & \mbox{si }i = r. \end{matrix}  \right. \)</p>
De plus, on a \( Z(y^{(1)}) = Z(y^{(0)})\pm \lambda w_s \), selon que
(FS) soit de tupe maximisation ou minilisation. Ici, le point 
\( y^{(0)} \) reprsente la solution de base ralisable associe 
 \( B \) : \( y^{(0)} = ( _{\; 0_N}^{B^{-1}b}) \).
</div>







\noindent Il est intressant de remarquer que dans le cas o la 
base ralisable \( B \) est non dgnre, le paramtre
\( \lambda \) est strictement positif. Sans aucun doute, le point
construit \( y^{(1)} \) possde, en cas de non dgnrescence,
une valeur conomique strictement meilleure que celle de \( y^{(0)} \).</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS4S5S1}{IV-5-1  Condition d'optimalit}

<div class="right_selection">\link{mainS4S5S2}{IV-5-2  Amlioration de la fonction d'objectif}</div>

\link{mainS4S5S3}{IV-5-3  Algorithme}

\link{mainS4S5S4}{IV-5-4  Rgle de pivotage}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>