<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Rsolution numrique de l'quation \( f ( x ) = 0 \)} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> V-1  Principe</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Mthode de dichotomie}

\link{mainS3}{III  Mthode de point fixe}

\link{mainS4}{IV  Mthode de Newton}

<div class="left_selection">\link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange}</div>

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc"> <em><font color="green">La mthode de Lagrange est une variante de la mthode
  de Newton</font></em>  .
  
  Soit \( f \in \mathcal{ C}^1 \left(\lbrack a, \; b\rbrack , \; \mathbb R
  \right) \) ayant une convexit dtermine. Rappelons que pour calculer un zro \( \alpha \) de \( f \) 
par la mthode de Newton, on considre la suite \( (x_n) \)dfinie par:
<div class="math">\(
\displaystyle \left\{
\begin{matrix}  
x_0 \mbox{ proche de } \alpha \\
f'(x_n) (x_{n+1} - x_n) = - f(x_n), \; \forall n \geq 0
\end{matrix}  
\right.
\)</div> 
Dans certaines situations, la drive de \( f \) est trs
complique voir mme impossible  calculer. Dans ce cas, nous 
approchons la drive par un quotient diffrentiel. 
Ce que nous obtenons est appele la <em><font color="green">mthode de Lagrange</font></em>  :
<div class="math">\(
\displaystyle \left\{
\begin{matrix}  
x_0, \; x_1 \mbox{ proche de } \alpha \\ \;\\
\displaystyle \frac {f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} (x_{n+1} - x_n)  = -
f(x_n),  \; \; \forall n \geq 1
\end{matrix}  
\right.
\)</div> 
\noindent Ici, \( x_{n+1} \)
dpend de \( x_n \) et de \( x_{n-1} \): on dit que c'est une <em><font color="green"> mthode
 deux pas</font></em>   <a name="mthode!  deux pas">; nous avons d'ailleurs besoin de deux itrs initiaux
\( x_0 \) et \( x_1  \).

\noindent L'avantage de cette mthode est qu'elle ne ncessite
pas le calcul de la drive \( f'  \). L'inconvnient est que nous perdons la
convergence quadratique.

La fonction \( g \) correspondante vrifie: 
<div class="math">\(x_{n+1} = g(x_n) = x_n - \displaystyle f(x_n) \frac {x_n - x_{n-1} }{ f(x_n) - f(x_{n-1})}\)</div></div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS5S1}{V-1  Principe}</div>

\link{mainS5S2}{V-2  Interprtation gomtrique}

\link{mainS5S3}{V-3  Convergence}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>