<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Intgration numrique} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Etude de l'erreur d'une mthode de quadrature} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S1}{IV-1  Exprience numrique} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-1-4  Justification des rsultats</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Formules de quadrature et leur ordre}

\link{mainS3}{III  Mise en oeuvre sur Matlab}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Etude de l'erreur d'une mthode de quadrature}</div>

\link{mainS5}{V  Exemples de calcul numrique de l'ordre}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
Etudions d'abord l'erreur faite sur un sous-intervalle de longueur
\( h \).
<div class="math"><a name="Eq7">\(  
\begin{matrix} 
E(f, \; x_0, \; h) & = &\displaystyle \int_{x_0}^{x_0 + h} f(x) \; dx - h
\sum_{i=1}^{s} b_i f(x_0 + c_i h) \\
 &&\\
     & = & h \left( \displaystyle \int_0^1 f(x_0 + t h) \; dt - \displaystyle
\sum_{i=1}^{s}  b_i f(x_0 + c_i h) \right).
\end{matrix} 

 \)</div>

\noindent On considre la formule de quadrature d'ordre
\( p \). En supposant que \( f \) est suffisament diffrentiable, on peut
remplacer \( f(x_0 + t h) \) et \( f(x_0 + c_i h) \) par les sries de
Taylor au voisinage de \( x_0 \):
<div class="math">\(
\begin{matrix} 
E(f, \; x_0, \; h) & = &\displaystyle \sum_{q \geq 0} \frac{h^{q+1}}{q!}
\left( \int_{0}^{1} t^q \; dt - 
\sum_{i=1}^{s} b_i c_i^q \right) f^{(q)} (x_0) \\
 &&\\
   & = &\displaystyle \frac{h^{p+1}}{p!}
\left( \frac{1}{p+1}  - 
\sum_{i=1}^{s} b_i c_i^p \right) f^{(p)} (x_0) + \mathcal{ O}(h^{p+2})
\end{matrix} 
\)</div>
\noindent La constante dfinie par 
<div class="math"><a name="Eqconstante">\(  
C = \displaystyle \frac{1}{p!}
\left( \frac{1}{p+1}  - 
\sum_{i=1}^{s} b_i c_i^p \right)

 \)</div> 

\noindent s'appelle <em><font color="green"> constante de l'erreur.</font></em>   Si on suppose que \( h \)
est assez petit pour ngliger \( \mathcal{ O}(h^{p+2}) \) devant \( C
h^{p+1} \), on obtient:
<div class="math">\(
\begin{matrix} 
E(f) & = & \displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} E(f, \; x_j, \; h) \approx  Ch^{p}
\sum_{j=0}^{N-1}h f^{(p)}(x_j) \approx Ch^{p}  \int_{a}^{b} f^{(p)}(x)
\; dx \\
&&\\
& = & \displaystyle Ch^{p} \left( f^{(p-1)}(b) -  f^{(p-1)}(a) \right) \quad \quad 
\end{matrix} 
\)</div>
\noindent Cette formule nous permet de mieux comprendre les
rsultats de la figure prcdente. En effet, on peut crire
\( E(f) \approx C_1 h^{p} \) et \( fe \approx \displaystyle \frac
{C_2}{h} \). Par consquent,
<div class="math">\(
- \log_{10}(E(f)) \approx -
\log_{10}(C_1) - p \log_{10}(h) \approx Constante + p \log_{10}(fe).
\)</div>
\noindent Ceci montre la dpendance <b><font color="orange"> linaire</font></b>   entre \( \log_{10}(fe) \) 
et \( \log_{10}(E(f)) \) et le fait que la pente
soit de \( \displaystyle \frac {1}{p} \).</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS4S1S1}{IV-1-1  Nombre d'valuation}

\link{mainS4S1S2}{IV-1-2  Exemple}

\link{mainS4S1S3}{IV-1-3  Interprtation des rsultats}

<div class="right_selection">\link{mainS4S1S4}{IV-1-4  Justification des rsultats}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>