Comme \(\vec E) est de dimension \(3), tout endomorphisme de 
\( \vec E ) admet une ou trois valeurs propres
relles (comptes avec leur multiplicit) \fold{}{(Pourquoi ?)}{<div id="ccc">Le polynme caractristique de l'endomorphisme est de degr \(3) donc s'annule au moins une fois sur \(\RR).</div>}
<p>
<div id="thm">
 <b>Proposition : </b> Soit \( \vec f ) une isomtrie 
vectorielle admettant la valeur propre
relle \( \lambda ), soit \( \vec D ) une droite propre associe  \( \lambda ) 
et soit \( \vec P= \vec D^\perp ) le plan
orthogonal
 \( \vec D ). Alors, on a \lambda = \pm 1  et le plan \( \vec P ) est stable par \( f ).</div>

<i> Dmonstration : </i> Les  valeurs propres d'une isomtrie sont \pm 1 \fold{}{(pourquoi ?)}{<div id="ccc">En effet, si \(\vec u) est un vecteur propre non nul associ  la valeur propre \(\lambda), on a
<center> \(||\vec u||=||\vec f(\vec u)||=|\lambda|.||\vec u||)</center></div>}.
La stabilit du plan
orthogonal vient de la conservation de l'orthogonalit et de la stabilit
de \( \vec D ).
 <p>
<div id="thm">
 <b>Corollaire : </b>
Une droite vectorielle est stable par une application linaire si et seulement si c'est une direction propre pour cette application linaire. Un plan est stable par une isomtrie vectorielle si et seulement s'il est orthogonal  une direction propre.
</div>