\def{integer n=\parm1<> ? \parm1:2}
\def{text liste =x<sub>1</sub>}
\for{i=2 to \n}{\def{text liste =\liste ,x<sub>\i</sub>}}

\def{text liste2= tx<sub>1</sub>}
\for{i=2 to \n}{ \def{text liste2=\liste2,tx<sub>\i</sub>}}

<div class="solution">En faisant ventuellement une translation, on peut supposer
que le centre de la boule est  \(O).  On va sortir de son chapeau une fonction  \(f)
(potentiel) qui va convenir :
<center> \if{\n=2}{\(f(x,y)= 
\int_0^1) (P(tx,ty) x + Q(tx,ty)y) dt
}
{f(\liste)= \(\int_0^1 )(F<sub>1</sub>(\liste2)x<sub>1</sub>
\for{i=2 to \n}{+F<sub>\i</sub>(\liste2)x<sub>\i</sub>})dt
}
</center> 
Cela a bien un sens, car si  \if{\n=2}{\(M=(x,y)\in \mathcal U)}{M=(\liste)\(\in \mathcal U)}
, le point  \if{\n=2}{\((tx,ty))}{(\liste2)} appartient aussi 
 \(\mathcal U) puisqu'il est sur le segment  [O,M]. Calculons la drive partielle de  \(f) par
rapport 
 \if{\n=2}{\(x)}{\(x_1) (on la notera D<sub>1</sub>(f))} :
<center>\if{\n=2}{ \(
\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=  \int_0^1 (t\frac{\partial P}{\partial x}(tx,ty) x + P(tx,ty) 
+
t\frac{\partial Q}{\partial x}(tx,ty)y
 )dt=
)
<br>
\(\int_0^1 (t\frac{\partial P}{\partial x}(tx,ty) x + P(tx,ty) 
+
t\frac{\partial P}{\partial y}(tx,ty)y
 )dt=
 )
 <br>\(
\int_0^1t\frac{d}{dt} (P(tx,ty)) + \int_0^1P(tx,ty) dt)
=\(
[t P(tx,ty)]_{0}^1- \int_0^1 P(tx,ty)dt + 
\int_0^1P(tx,ty) dt= P(x,y))
}
{D<sub>1</sub>(f)(\liste)=  
\(\int_0^1 )(t\D<sub>1</sub>(F<sub>1</sub>)(\liste2) x + F<sub>1</sub>(\liste2) 
\for{i=2 to \n}{+
tD<sub>1</sub>(F<sub>\i</sub>)(\liste2)x<sub>\i</sub>
}
 )dt=
<br>
\(\int_0^1 )(t\D<sub>1</sub>(F<sub>1</sub>)(\liste2) x + F<sub>1</sub>(\liste2) 
\for{i=2 to \n}{+
tD<sub>\i</sub>(F<sub>1</sub>)(\liste2)x<sub>\i</sub>
})
 dt=

<br>\(
\int_0^1 t\frac{d}{dt}) (F<sub>1</sub>)(\liste2) + \(\int_0^1) F<sub>1</sub>(\liste2) dt
=
[t F<sub>1</sub>(\liste2)]<sub>0</sub><sup>1</sup> - \(\int_0^1) F<sub>1</sub>(\liste2)dt + 
\(\int_0^1)F<sub>1</sub>(\liste2) dt= F<sub>1</sub>(\liste)
}
	
</center>

Donc,  \if{\n=2}{\(\frac{\partial f}{\partial x}=P)}{\(D_1(f)=\frac{\partial f}{\partial x_1}=F_1)}. 
De mme,  \if{\n=2}{\(\frac{\partial f}{\partial y}=Q)}{pour les autres drives partielles}.
De plus,  \(f) est bien  \(C^1) (drives partielles continues). Ce qui termine la dmonstration.
</div>