Soit \( M_(n,m)(K) ) l'ensemble des matrices  coefficients dans un corps
\( K ) (gal  \( \RR) ou \( \CC )) ayant \( n ) lignes et \( m ) colonnes, 
\( M_n(K) ) l'ensemble des matrices carres d'ordre \( n )  coefficients dans \( K ). On note <ul><li>\( I_n ) la matrice identit d'ordre 
\( n ) </li><li> \( A = ((a_(ij))) ) o \( i ) est l'indice des lignes et \( j ) l'indice
des colonnes
</li><li> \( A_1, ..., A_n ) ses \( n ) colonnes : \( A=(A_1, ..., A_n) ).
</li></ul> 


<div class="thm"><span class="thm">Thorme : </span> Il existe une <span class="definition">unique</span> application \( {\rm det }: M_n(K)\to K ), appele <span class="definition">dterminant</span> vrifiant les proprits suivantes
<ul><li><font color="brown">\((D1))</font> pour tout \( j=1,..., n ), pour tous \( a ) et \( b  ) appartenant  \( K ), 
pour \( A_1,..., A_n ) et \(B_j) des vecteurs colonnes, 
 <center>\( 
{\rm det }(A_1,...,\special{color=red}a \special{color=blue}A_j+\special{color=black}\special{color=red}b \special{color=blue} B_j\special{color=black},..., A_n)=
\special{color=red}a \special{color=black}{\rm det }(A_1,...,\special{color=blue}A_j\special{color=black},..., A_n))+\(\special{color=red}b \special{color=black} {\rm det }(A_1,...,\special{color=blue}B_j\special{color=black},..., A_n)
 ).</center>
</li><li><font color="brown">\((D2))</font> s'il existe un indice \( j ) tel que \( \special{color=blue}A_j=A_{j+1}=B\special{color=black} ), \( {\rm det }(A_1,...,\special{color=blue} B,B\special{color=black},...,A_n)=0).
</li>
<li><font color="brown">\((D3))</font>\( {\rm det } I_n = 1 ).
</li></ul>
</div>

La proprit <font color="brown">\((D2))</font> est vraie mme si les colonnes ne sont pas  ct l'une de l'autre, nous le dmontrons  partir des proprits telles qu'elles ont t noncs ici : 

<div class="thm">
<font color="brown">\((D2'))</font> s'il existe des indices \( j )  et \(k) tels que \( \special{color=blue}A_j=A_{k}=B\special{color=black} ), \( {\rm det }(A_1,...,\special{color=blue} B\special{color=black} ,..,\special{color=blue} B \special{color=black},...,A_n)=0).
</div>