<div class="defn">Une  <span class="defn">classe de congruence modulo \(n) </span>est  un sous-ensemble de \(\ZZ) de la forme
<center> \(a+n\ZZ=\{a+nx , x\in \ZZ\}) </center>
avec \(a) un entier.
L'ensemble des classes de congruences modulo \(n) est not \(\ZZ/n\ZZ). On note aussi 
<center> \(a + n)\ZZ = \(a) mod \(n)</center>
Un entier \(b) est appel un <span class="defn">reprsentant </span> de la classe \(a \bmod n) si \(b ) et \(a ) sont congrus modulo \(n). 
</div>

\def{integer n=randint(20..100)}
\def{integer a=randint(1..\n)}
\def{integer c=\a+randint(1..5)*\n+randint(-5..5)}
\def{integer b=\a+randint(1..5)*\n}

\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" 
width="20" height="20">}
<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple  :</span> 
<ul><li>
Les classes \a + \n  \ZZ et \b + \n \ZZ sont gales. 
</li>
<li>
Les classes \a + \n \ZZ et \c + \n \ZZ sont diffrentes.
</li>
<li>
L'entier \(\b) est un reprsentant de la classe  \a mod \n. 
</li></ul>
</div>

On choisit en gnral les reprsentants entre 0 et \(n-1), ce qui est toujours \fold{representant}{possible.} 

Mais il est quelquefois commode de prendre les reprsentants entre \(-(n-1)/2) et \((n-1)/2) et mme de les prendre quelconques. 

<div class="exercice"><span class="exercice">Exercice</span> : 
\exercise{module=U1/arithmetic/modarith.fr&exo=classes}{Classes}
</div>

\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" 
width="20" height="20">}

\def{integer n=randint(109..1000)}
\def{integer n1=\n-1}
\def{integer k=2*randint(1000..3000)}
<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple pour plus tard  :</span> Il est quand mme plus facile de calculer la puissance  \(k)-ime de la classe \n1 mod \n en utilisant le reprsentant de cette classe qu'est -1. Ainsi : 
<p align="center"> \(\n1^k = (-1)^k ) mod \n </p>
<p align="center"> \(\n1^\k = 1 ) mod \n </p>
</div>