<div class="exemple"><span class="exemple">Questions </span> Soient  \(E) et  \(F) deux  
\(K)-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases  \calB et  \calB\(_1), 
respectivement. Comment changent les coordonnes d'un vecteur de  \(E) lorsqu'on change de base dans  
\(E) ? Comment change la matrice de  \(f) \in \(L(E,F)) lorsqu'on change de base dans  \(E) et dans  \(F) ?
	Nous allons voir que les changements de base s'expriment par des produits de matrices.</div>

<div class="defn"><span class="definition">Dfinition : </span> Soient 
\(E) un  \(K)-espace vectoriel de dimension finie  \(n) \in \NN\(^*),  \calB = 
\((u_1, u_2, ... , u_n))  et \calB' = \((u'_1, u'_2, ... , u'_p)) 
deux bases de   \(E). La matrice  
<p align="center">\(P=(p_{ij})_{\matrix{
1\leq i\leq n\cr
1\leq j\leq n\cr}})
</p>dont  
la \(j)-ime colonne est constitue par les coordonnes du vecteur  \(u'_j) dans la base  
\calB,  1 \leq \(j) \leq \(n), est appele la <span class="defn">matrice de passage</span> 
de la base  \calB  la base  \calB'. Si on a, pour  1 \leq \(j) \leq \(n) :
<p align="center"> \(u'_j = )\(p_{ 1 j}) \(u_1 + p_(2j) u_2 +  ... + p_(nj) u_n),
</p> 
c'est--dire, si  \(p_{1j}), \(p_(2j), ...,  p_(nj)) sont les coordonnes du vecteur  
\(u'_j) dans la base  \calB, alors :
<p align="center"> \(P = \pmatrix{
p_{11} & p_{12} & ... &  p_{1n}\cr
p_{21} & p_{22} & ... &  p_{2n}\cr
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr
p_{n1} & p_{n2} & ... &  p_{nn}\cr})</p>
</div>